Hookes lag räta linjens ekvation

Räta linjens ekvation beskriver en linjärt samband mellan numeriskt värde variabler, \(y\) samt \(x\). sträcka ritas såsom linjär linje inom en koordinatsystem.

Räta linjens ekvation skrivs

$$y=kx+m$$

Där \(k\) samt \(m\) existerar konstanter vilket avgör sambandet mellan variablerna \(x\) samt \(y\).

Konstanten \(k\) anger linjens lutning samt \(m\) anger nära vilket värde liksom sträcka skär y-axeln, då \(x=0\).

Exempel 1

Antag för att konstanterna \(m=5\) samt \(k=1\). Denna räta linjes ekvation är:

$$y=1\cdot x+5=x+5$$

Exempel 2

Den räta sträcka \(y=2x+3\) besitter nästa graf:

Linjen skär y-axeln nära \(y=3\), såsom oss kunna studera från via m-värdet, då \(x=0\).

Lutningen \(k\) hittas genom för att analysera hur stegen inom x-led förhåller sig mot stegen inom y-led.

på grund av varenda steg inom x-led tas numeriskt värde steg inom y-led till varenda punkt längs linjen.

k-värdet \(2\) innebär ett ökning från x-värdet tillsammans med \(1\) samt ett ökning från y-värdet tillsammans \(2\). till varenda steg \((+1)\) inom x-led tas \(k\) steg inom y-led.

Den räta sträcka \(y=-2x+4\) besitter nästa graf:

k-värdet \(-2\) innebär ett ökning från x-värdet \((A-B)\) samt enstaka minskning från y-värdet \((B-C)\) tillsammans \(2\).

Konstanterna \(k\) samt \(m\)

Konstanten \(k\) kallas riktningskoefficient samt betecknar lutningen vid linje.

Visar några exempel på hur man skriver räta linjens ekvation på allmän form, ax+by+c=0, samt motiverar att alla linjer kan beskrivas av en ekvation på den fo

en positivt k-värde ger enstaka linje liksom lutar snett uppåt åt motsats till vänster inom koordinatsystemet, alltså för att y-värdet blir större ju större värdet blir vid den oberoende variabeln \(x\).

I figuren ovan ser oss inom mörk den konstanta sträcka \(y=1\), inom grönt \(y=x\), samt inom rött \(y=3x\).

Ett negativt k-värde ger ett linje liksom lutar snett neråt åt motsats till vänster, samt för att y-värdet blir mindre ju större värdet blir vid den oberoende variabeln.

I figuren ovan ser oss den konstanta linje \(y=1\) inom mörk, den minskande \(y=-x\) inom grönt, samt minskande \(y=-3x\) inom rött.

När \(k=0\) således äger sträcka enstaka horisontell lutning likt existerar parallell tillsammans med x-axeln.

Notera för att ifall \(k=0\) sålunda kommer ej y-värdet för att artikel beroende från värdet vid den oberoende variabeln – y-värdet kommer då för att artikel detsamma, konstant, oavsett från den oberoende variabelns värde. då k-värdet existerar \(0\), existerar \(y=0x+m\). Vilket existerar identisk sak likt \(y=m\).

Konstanttermen \(m\) bestämmer plats linje skär y-axeln.

Google Classroom - Interaktiva lektioner

m-värdet motsvarar y-värdet inom den punkten var \(x=0\), alltså var linje skär y-axeln.

När m-värdet existerar positivt skär sträcka y-axeln ovanför origo samt då detta existerar negativt skär linje y-axeln beneath origo. då \(m=0\) går genom origo, dvs.

punkten \((0,\,0)\).

Exempel 3

Ritar oss linje \(y=x+5\) inom exempel 1 skär y-axeln inom punkten \((0,\,5)\), dvs. den punkt var \(x=0\) samt \(y=5\).

Räkna ut lutning vid enstaka rät linje

Givet numeriskt värde punkter vid sträcka \((x_1, y_1)\) samt \((x_2, y_2)\) därför kunna oss tillsammans med nästa formel räkna fram lutningen:

$$k=\frac{\text{Förändring i}\;y\text{-led}}{\text{Förändring i}\;x\text{-led}}=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$

Exempel 4

Antag den räta linje \(y=x+5\) tillsammans nästa värdetabell.

\(x\)	\(y\)
0	5
1	6
2	7
3	8
4	9

Välj numeriskt värde slumpmässiga punkter ifrån tabellen, \((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\).

oss sätter

$$(x_1, y_1)=(0, 5)\;\text{och}\;(x_2, y_2)=(3, 8)$$

Sätt in punkterna inom formeln på grund av för att beräkna k-värdet:

$$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{}{}=\frac{3}{3}=1$$

Vi vet för att detta stämmer, då funktionen äger formen \(f(x)=x+5\), dvs. äger \(k=1\).

Räkna ut fanns linjer skär \(y\)-axeln

Härnäst bör oss visa numeriskt värde metoder på grund av för att ta reda vid \(m\)-värdet.

Den en metoden kallas på grund av \(k\)-form samt den andra kallas på grund av enpunktsform.

Räkna ut linjens ekvation – 2 punkter givna

När oss besitter numeriskt värde punkter på grund av enstaka rät linje kunna oss avgöra denna räta linjes ekvation \(y=kx+m\), genom för att räkna ut \(k\)-värdet samt \(m\)-värdet.

Exempel

Vi använder identisk modell vilket på grund av \(k\)-värdet.

oss besitter räknat ut \(k\)-värdet mot \(1\), tillsammans punkterna \((0,\,5)\) samt \((3,\,8)\).

Sök

oss sätter in \(k\)-värdet inom räta linjens ekvation på grund av för att åtgärda ut \(m\):

$$y=kx+m=1\cdot x+m=x+m$$

$$m=y-x$$

Vi vet numeriskt värde punkter vid linje, oss väljer någon från dem samt sätter in inom ekvationen. oss får idag enstaka ekvation tillsammans endast enstaka variabel, vilket oss är kapabel åtgärda. Exempelvis punkten \((3,\,8)\):

$$m==5$$

Konstanterna existerar idag beräknade mot \(k=1\) samt \(m=5\).

Vår räta linjens ekvation är:

$$y=kx+m=1\cdot x+5=x+5$$

Linjens ekvation existerar \(y=x+5\)

Exempel

I nästa geogebra - graf kunna man analysera lutningen (\(k\)-värde) samt skärning tillsammans \(y\)-axeln (\(m\)-värde) genom för att dra inom glidarna samt flytta punkterna (\(\color{Blue}{\text{A}}\) samt \(\color{Blue}{\text{B}}\)) likt kalkylerar \(k\).

Linjens ekvation inom enpunktsform

När oss känner mot \(k\)-värdet samt ett punkt till enstaka rät linje kunna oss avgöra denna räta linjes ekvation tillsammans med hjälp från enpunktsformen:

$$y-y_1=k(x-x_1)$$

Exempel

Med identisk exempellinje likt tidigare äger oss \(k=1\) samt punkten \((x_1,y_1)=(3, 8)\).

Logga in

till samtliga punkter längs den räta sträcka gäller sambandet

$$k=\frac{y-y_1}{x-x_1}\Rightarrow 1=\frac{y-8}{x-3}$$

Multiplicera upp divisor. detta ger räta linjens ekvation inom enpunktsform.

$$1\cdot(x-3)=y-8$$

Räta linjens ekvation inom \(k\)-form fås genom för att åtgärda ut \(y\)

$$y=x-3+8=x+5$$

Proportionalitet

Om ekvationen \(y=kx+m\) saknar \(m\)-värde, dvs.

\(m=0\), skrivs den räta linjen

$$y=kx$$

Detta specialfall kallas proportionalitet.

detta betyder för att dem numeriskt värde variablernas förhållande existerar konstant. Man säger för att \(y\) motsvarar ett konstant multipel från \(x\).

Vi går steg för steg igenom innebörden av lutni

ifall linje existerar proportionell således existerar \(k=\frac{y}{x}\). (\(k\) är kapabel artikel positiv alternativt negativ)

angående man köper ett artikel likt kostar \(a\) kr/kg beräknas kostnaden tillsammans \(y=ax\). \(x\)-axeln representerar antal kg från varan samt kostnaden vid \(y\)-axeln.

Räta linjens ekvation inom allmän form

Den allmänna formen existerar \(ax+by+c=0\) var både \(a\) samt \(b\) existerar skilda ifrån \(0\).

angående man dividerar båda sidor tillsammans med \(b\) samt ändrar bostadsort \(ax\) mot vänstersidan erhålles \(y=(-ax)/b-c/b\) detta medför att
$$k=-\frac{a}{b}\, \text{och}\;m=-\frac{c}{b}$$